Tên đề tài:
A C¹-generic dichotomy for diffeomorphisms: Weak forms of hyperbolicity or infinitely many sinks or sources
Ngành:
Toán học
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Nghiên cứu này trình bày một kết quả phân đôi C¹-generic cho các vi phân ảnh trên một đa tạp compact n-chiều, với n ≥ 1. Các tác giả chỉ ra rằng tồn tại một tập con dư của không gian các vi phân ảnh Diff¹(M) sao cho mỗi vi phân ảnh trong tập con này thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: hoặc là lớp homoclinic của nó được chứa trong phần đóng của một tập vô hạn các điểm hút hoặc điểm nguồn (hiện tượng Newhouse), hoặc nó thể hiện một dạng suy yếu của tính hyperbolic được gọi là phân tách bị chi phối (một sự khái quát hóa của kết quả 2 chiều của Mañé). Cụ thể hơn, bài báo chứng minh rằng mọi vi phân ảnh C¹-robustly transitive đều có một phân tách bị chi phối. Kết quả này mở rộng hiểu biết về động lực học của các hệ thống phi hyperbolic và cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các tập hợp động lực học.
Mục lục chi tiết:
- 1. Linear systems with transitions
- 1.1. Linear systems: Topology and linear changes of coordinates
- 1.2. Special linear systems
- 1.3. Dominated splittings
- 1.4. Periodic linear systems with transitions
- 2. Quantitative results: Proofs of the theorems
- 2.2. Proofs of the theorems
- 2.2.1. Proofs of Theorem 1 and Proposition 2.6
- 2.2.2. Proof of Corollary 0.2
- 2.2.3. Proof of Corollary 0.3
- 2.2.4. Proof of Theorem 2
- 2.2.5. Proof of Theorem 3
- 3. Two-dimensional linear systems
- 3.1. Proof of Proposition 3.1
- 4. Invariant subbundles: Reduction of the dimension and the finest dominated splitting
- 4.1. Quotient of linear systems and restriction to subbundles
- 4.2. The finest dominated splitting
- 4.3. Transitions and invariant spaces
- 4.4. Diagonalizable systems
- 5. Dominated splittings, complex eigenvalues of rank (i, i + 1), and homotheties
- 5.1. Getting complex eigenvalues of any rank
- 5.2. End of the proof of Proposition 2.4
- 5.3. Proof of Proposition 2.5
- 5.3.1. End of the proof of Proposition 2.5
- 5.3.2. Proof of Lemma 5.4 (and Remark 5.5)
- 6. Finest dominated splitting and control of the jacobian in the extremal bundles: Proof of Theorem 4
- 6.1. Control of the jacobian over periodic points
- 6.2. Mañé's ergodic closing lemma: Proof of Proposition 6.2
- 7. The conservative case
- 7.1. Proof of Theorem 6
- 7.2. Volume properties of dominated splittings of conservative systems