Giới thiệu
Bài báo này tập trung vào bài toán Erdős-Szemerédi về tập hợp tổng và tập hợp tích. Vấn đề cơ bản là nếu A là một tập hợp hữu hạn các số nguyên, thì tập hợp tổng và tập hợp tích không thể đồng thời nhỏ. Bài báo trình bày một công thức chính xác cho giả thuyết này, được đưa ra bởi Erdős-Szemerédi.
Mặc dù chỉ có những kết quả yếu hơn hoặc các trường hợp đặc biệt của giả thuyết này được biết đến, bài báo đề xuất một cách tiếp cận mới. Thay vì giả định tập hợp tổng nhỏ để suy ra tập hợp tích lớn (sử dụng định lý cấu trúc của Freiman), bài báo đi theo hướng ngược lại. Cụ thể, bài báo chứng minh rằng nếu kích thước của tập hợp tích |AA| nhỏ hơn một hằng số nhân với kích thước của tập hợp |A|, thì kích thước của tập hợp tổng |A+A| sẽ lớn hơn một hằng số khác nhân với |A|².
Một phiên bản định lượng của hiện tượng này, kết hợp với bất đẳng thức kiểu Plünnecke, cho phép giải quyết hoàn toàn một giả thuyết liên quan đến sự tăng trưởng của g(k) khi k tiến tới vô cùng. Hàm g(k) được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất của |A[1]| + |A{1}| trên tất cả các tập hợp A có lực lượng bằng k, trong đó A[1] là tổng các phần tử của A và A{1} là tích các phần tử của A. Bài báo chứng minh rằng g(k) tăng nhanh hơn bất kỳ lũy thừa nào của k khi k → ∞, cụ thể là ln g(k) tương đương với (ln k)².
Mục lục chi tiết:
- Summary
- Introduction
- Proof of Theorem 1
- Proof of Theorem 2
- Proof of Theorem 3