Giới thiệu về bài báo
Bài báo này tập trung vào bài toán mở rộng của Whitney cho lớp hàm $C^m$. Cụ thể, bài viết giải quyết câu hỏi liệu một hàm số thực giá trị trên một tập con compact $E$ của $R^n$ có thể được mở rộng thành một hàm $C^m$ trên toàn $R^n$ hay không.
Bài toán mở rộng của Whitney, được phát biểu lần đầu bởi Hassler Whitney vào năm 1934, là một vấn đề cơ bản trong giải tích phi tuyến. Nó đặt ra câu hỏi về điều kiện cần và đủ để một hàm số xác định trên một tập con của không gian Euclid có thể được mở rộng thành một hàm trơn trên toàn bộ không gian.
Trong bài báo này, tác giả Charles Fefferman tiếp cận bài toán bằng cách sử dụng khái niệm về $m$-jets của hàm số và một cấu trúc gọi là "không gian giữ" (holding space). Tác giả giới thiệu một phương pháp tính toán "không gian giữ nhỏ nhất" cho một hàm số cho trước. Kết quả chính của bài báo là một điều kiện tương đương để hàm số có thể được mở rộng thành hàm $C^m$, dựa trên tính không rỗng của "không gian giữ ổn định" (stable holding space) tại mọi điểm của tập con $E$.
Ngoài ra, bài viết còn đề cập đến các biến thể của bài toán mở rộng của Whitney, bao gồm cả trường hợp hàm số có modulus liên tục cho trước ($C^{m,w}$), và mối liên hệ với các công trình nghiên cứu trước đó của các nhà toán học khác như Brudnyi, Shvartsman, Bierstone, Milman và Pawłucki.
Mục lục chi tiết:
- Abstract
- Introduction
- Question 1.
- Question 2.
- THEOREM 1.
- THEOREM 2.
- COROLLARY.
- THEOREM 3.
- FINITENESS LEMMA.
- LEMMA 2.1.
- LEMMA 2.2.
- LEMMA 2.3.
- Further elementary results
- LEMMA 3.1.
- LEMMA 3.2.
- LEMMA 3.3.
- LEMMA 3.4.
- LEMMA 3.5.
- LEMMA 3.6.
- Setup for the main induction
- The basic convex sets
- LEMMA 5.1.
- LEMMA 5.2.
- LEMMA 5.3.
- LEMMA 5.4.
- LEMMA 5.5.