Giới thiệu
Bài báo này nghiên cứu các nút Legendrian trong các loại nút được cáp (cabled knot types). Cụ thể, với một loại nút tôpô K cho trước, chúng tôi phân tích các nút Legendrian trong các loại nút thu được từ K bằng cách cáp, xét trên khía cạnh các nút Legendrian trong loại nút K. Một hệ quả của phân tích này là chúng tôi chỉ ra rằng nút cáp (2,3) của nút torus (2,3) không phải là nút đơn giản ngang (transversely simple), và hơn nữa phân loại các nút đơn giản ngang trong loại nút này. Đây là phân loại đầu tiên về các nút đơn giản ngang trong một loại nút không đơn giản ngang.
Chúng tôi cũng phân loại các nút Legendrian trong loại nút này và giới thiệu ví dụ đầu tiên về một nút Legendrian không thể bị phá hủy (destabilize), mặc dù bất biến Thurston-Bennequin của nó không phải là cực đại trong số các đại diện Legendrian của loại nút đó.
1. Giới thiệu
Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các nút Legendrian trong các đa tạp 3 chiều tiếp xúc chặt (tight contact 3-manifolds) bằng các phương pháp tôpô tiếp xúc 3 chiều. Trong [EH1], các tác giả đã giới thiệu một khuôn khổ tổng quát để phân tích các nút Legendrian trong các đa tạp 3 chiều tiếp xúc chặt. Tại đó, chúng tôi đã tinh giản bằng chứng cho việc phân loại các nút Legendrian không (legendrian unknots), ban đầu được chứng minh bởi Eliashberg-Fraser trong [EF], và đưa ra một phân loại hoàn chỉnh các nút torus và nút hình số tám.
Trong [EH2], chúng tôi đã đưa ra định lý cấu trúc đầu tiên cho các nút Legendrian, đó là việc giảm thiểu phân tích các tổng liên thông của các nút Legendrian về phân tích các thành phần nguyên tố. Điều này dẫn đến một loạt các loại nút không đơn giản Legendrian. (Một loại nút tôpô được gọi là đơn giản Legendrian nếu các nút Legendrian trong loại nút đó được xác định bởi bất biến Thurston-Bennequin và số vòng quay của chúng.) Hơn nữa, chúng tôi đã giới thiệu các cặp nút Legendrian trong cùng một loại nút tôpô với cùng bất biến Thurston-Bennequin và số vòng quay, mà đòi hỏi một số lượng tùy ý các phép ổn định hóa trước khi chúng trở nên đồng phôi Legendrian (xem [EH2]).
Mục tiêu của bài báo hiện tại là mở rộng các kết quả thu được cho các nút torus Legendrian sang các đại diện Legendrian của các loại nút được cáp.
Mục lục chi tiết:
- 1. Giới thiệu
- 1.1. Cablings và tính chất đồng nhất về độ dày (Uniform thickness property)
- 1.2. Hiện tượng mới
- 2. Sơ bộ
- 2.1. Framings
- 2.2. Tính toán tb và r
- 3. Từ UTP đến phân loại
- 4. Xác minh độ dày đồng nhất