Stability conditions on triangulated categories

Tên đề tài:

Stability conditions on triangulated categories

Ngành:

Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Bài báo này giới thiệu khái niệm về điều kiện ổn định trên một phạm trù tam giác. Nguồn gốc của động lực đến từ nghiên cứu về các màng Dirichlet trong lý thuyết dây, và đặc biệt là công trình về I-stability của M.R. Douglas. Từ góc độ toán học, đặc điểm thú vị nhất của định nghĩa là tập hợp các điều kiện ổn định Stab(D) trên một phạm trù D cố định có một tô pô tự nhiên, do đó xác định một bất biến mới của các phạm trù tam giác. Trong một bài báo riêng, tác giả cung cấp mô tả chi tiết về không gian các điều kiện ổn định này trong trường hợp D là phạm trù dẫn xuất bị chặn của các bó nhất quán trên một bề mặt K3. Bài báo này chủ yếu tập trung vào đại số đồng điều. Sau khi thiết lập các định nghĩa cần thiết, tác giả chứng minh một kết quả biến dạng cho thấy không gian Stab(D) với tô pô tự nhiên của nó là một đa tạp, có thể là vô hạn chiều.

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 1.1. Before going any further let me describe a simple example of a stability condition on a triangulated category.
• 1.2. The definition of a stability condition on a triangulated category is obtained by abstracting these generalised Harder-Narasimhan filtrations of nonzero objects of D(X) together with the map Z as follows.
• THEOREM 1.2. Let D be a triangulated category.
• COROLLARY 1.3. Suppose D is numerically finite.
• 1.3. Suppose now that D is linear over a field k.
• 1.4. The motivation for the definition of a stability condition given above came from the work of Douglas on I-stability for Dirichlet branes.
• Notation.
• 2. Stability functions and Harder-Narasimhan filtrations
• Definition 2.1. A stability function on an abelian category A is a group homomorphism Z : K(A) → C such that for all 0 ≠ E ∈ A the complex number Z(E) lies in the strict upper half-plane
• Definition 2.2. Let Z: K(A) → C be a stability function on an abelian category A.
• Definition 2.3. Let Z: K(A) → C be a stability function on an abelian category A.
• PROPOSITION 2.4. Suppose A is an abelian category and Z: K(A) → C is a stability function satisfying the chain conditions
• 3. t-structures and slicings
• Definition 3.1. A t-structure on a triangulated category D is a full subcategory FCD, satisfying F[1] C F, such that if one defines
• LEMMA 3.2. Let A C D be a full additive subcategory of a triangulated category D.
• Definition 3.3. A slicing P of a triangulated category D consists of full additive subcategories P($) C D for each ¢ ∈ R satisfying the following axioms:
• LEMMA 3.4. Let P be a slicing of a triangulated category D and let I CR be an interval of length at most one.
• 4. Quasi-abelian categories
• Definition 4.1. A quasi-abelian category is an additive category A with kernels and cokernels such that every pullback of a strict epimorphism is a strict epimorphism, and every pushout of a strict monomorphism is a strict monomorphism.
• LEMMA 4.2. An additive category A is quasi-abelian if and only if there are abelian categories A# and A' and fully faithful embeddings A C A# and ACA such that
• Lemma 4.3. Let P be a slicing of a triangulated category D.
• Definition 4.4. A skewed stability function on a quasi-abelian category A is a group homomorphism Z : K(A) → C such that there is a strict half-plane Hα = {r exp(iπφ) : r > 0 and α<φ α + 1}⊂ C, defined by some α ∈ R, such that Z(E) ∈ Hα for all objects 0 = E ∈ A.