Tên đề tài:
On the complexity of algebraic numbers I. Expansions in integer bases
Ngành:
Toán học
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Nghiên cứu này khám phá độ phức tạp của các số đại số thông qua biểu diễn cơ số nguyên. Bài báo chứng minh rằng biểu diễn cơ số b của bất kỳ số đại số vô tỷ nào không thể có độ phức tạp thấp. Cụ thể, độ phức tạp của biểu diễn cơ số b của một số đại số vô tỷ thỏa mãn $\liminf_{n\to\infty} (p(n) - n) = +\infty$. Nghiên cứu cũng thiết lập rằng các số morphic vô tỷ là các số siêu việt, đặc biệt là các số tự động vô tỷ. Công cụ chính được sử dụng là một tiêu chí siêu việt mới, dựa trên định lý Không gian con của Schmidt.
Các kết quả chính bao gồm:
- Định lý 1: Độ phức tạp của biểu diễn cơ số b của bất kỳ số đại số vô tỷ nào thỏa mãn $\liminf_{n\to\infty} \frac{p(n)}{n} = +\infty$.
- Định lý 2: Biểu diễn cơ số b của bất kỳ số đại số vô tỷ nào không thể được tạo ra bởi một máy hữu hạn tự động. Nói cách khác, các số tự động vô tỷ là các số siêu việt.
- Định lý 3: Các số đại số vô tỷ nhị phân không thể được tạo ra bởi một phép đồng cấu.
- Định lý 4: Đối với b ≥ 3, biểu diễn cơ số b của một số đại số vô tỷ không thể được tạo ra bởi một phép đồng cấu hồi quy.
Nghiên cứu cũng đề cập đến các khái niệm liên quan như chuỗi tự động, chuỗi morphic và đưa ra một tiêu chí siêu việt mới cho các chuỗi stammering.
Mục lục chi tiết:
- Abstract
- 1. Introduction
- 2. Main results
- 3. Finite automata and morphic sequences
- 4. A transcendence criterion for stammering sequences