Giới thiệu
Bài báo này giới thiệu khái niệm bất biến Gromov-Witten tương đối (relative Gromov-Witten invariants) của một đa tạp symplectic, liên quan đến một đa tạp con symplectic có hai chiều bù (codimension-two symplectic submanifold).
Nội dung chính
- Định nghĩa bất biến Gromov-Witten tương đối: Bài viết định nghĩa các bất biến này cho đa tạp symplectic (X, ω) tương đối với đa tạp con symplectic hai chiều bù V. Các bất biến này được thiết kế để sử dụng trong các công thức mô tả cách các bất biến Gromov-Witten (GW) hành xử trong phép nối symplectic dọc theo V.
- Xây dựng không gian các ánh xạ V-ổn định: Một bước quan trọng là xây dựng không gian compact của các ánh xạ 'V-ổn định' (V-stable maps). Các trường hợp đặc biệt đơn giản bao gồm số Hurwitz cho đường cong đại số và các bất biến đếm của Caporaso và Harris.
- Bất biến Gromov-Witten tương đối và các bài toán liên quan: Các bất biến tương đối này cung cấp số đếm các ánh xạ V-ổn định với các ràng buộc về cấu trúc phức của miền, ảnh của các điểm được đánh dấu và hình học của sự giao cắt với V.
- Cấu trúc và tính chất: Bài báo đi sâu vào cấu trúc của không gian các ánh xạ V-ổn định, chứng minh rằng chúng tạo thành một đa tạp (orbifold) cho các trường hợp tổng quát. Các tính chất giải tích cần thiết cũng được phát triển.
- Ví dụ và ứng dụng: Phần cuối trình bày ba ví dụ cụ thể liên kết các bất biến tương đối với các bất biến chuẩn của hình học đại số và tôpô symplectic.
Nghiên cứu này mở rộng lý thuyết bất biến Gromov-Witten sang các tình huống có đa tạp con, cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu cấu trúc của các đa tạp symplectic.