Isometric Actions Of Simple Lie Groups

Tên đề tài:

Isometric Actions of Simple Lie Groups on Pseudo-Riemannian Manifolds

Ngành:

Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Nghiên cứu này tập trung vào các hành động đẳng cự của nhóm Lie đơn giản lên các đa tạp giả Riemann. Cụ thể, bài báo xem xét trường hợp nhóm Lie đơn G tác động lên đa tạp giả Riemann liên thông, compact M một cách trung thực và bảo toàn một độ đo hữu hạn. Một điều kiện hình học quan trọng, ký hiệu là $n_0 = m_0$, được đưa ra, trong đó $n_0$ và $m_0$ lần lượt là các chiều của các không gian con tiếp tuyến không thời gian tối đại của G và M. Bài báo chứng minh rằng khi điều kiện $n_0 = m_0$ được thỏa mãn, hành động của G trên M là ergodic và engaging. Hơn nữa, tồn tại một phủ hữu hạn $\tilde{M}$ của M sao cho hành động của G trên $\tilde{M}$ có thể được nâng lên và $\tilde{M}$ tương đương vi phân G-tương biến với một hành động trên một lớp coset kép $K\L/\Gamma$, một cấu trúc được xem xét trong chương trình của Zimmer. Bài báo cũng khám phá các trường hợp đặc biệt khi L là bán đơn giản và $\Gamma$ là một lưới không cocompact, và cung cấp một đặc trưng cho các hành động coset kép này. Kết quả nghiên cứu đưa ra một câu trả lời tích cực một phần cho giả thuyết của Zimmer và mô tả một lớp lớn các hành động coset kép.

Mục lục chi tiết:

• Abstract
• 1. Introduction
• LEMMA 1.1. For G and M as before, we have $n_0 \le m_0$.
• THEOREM A. Let G be a connected noncompact simple Lie group...
• THEOREM B. Let G be a connected noncompact simple Lie group with finite center and rank₨(G) > 2...
• PROPOSITION 1.2. Suppose that G has finite center and rank₨(G) ≥ 2...
• THEOREM C. Let G be a connected noncompact simple Lie group with finite center and rank₨(G) > 2...
• THEOREM 1.3. If the G-action is not transitive, then M has a finite covering space M₁...
• THEOREM 1.4. Suppose G has finite center and rank₨(G) ≥ 2...
• THEOREM 1.5. Suppose G and M satisfy the hypotheses of either Theorem B or Theorem B'...
• 2. Some preliminaries on homogeneous spaces
• LEMMA 2.1. Let H be a Lie group acting smoothly and transitively on a connected manifold X...
• COROLLARY 2.2. If X is a connected homogeneous Riemannian manifold...
• THEOREM 2.3 (Singer). Let X be a smooth simply connected complete Riemannian manifold...
• 3. Isometric splitting of a covering of M
• PROPOSITION 3.1. Suppose G acts topologically transitively on M preserving its pseudoRiemannian metric and satisfying $n_0 = m_0$...
• LEMMA 3.2. Let G be a connected noncompact simple Lie group acting by isometries on a finite volume pseudoRiemannian manifold X...
• PROPOSITION 3.3. Let G be a connected noncompact simple Lie group and X a smooth finite volume pseudoRiemannian manifold...
• PROPOSITION 3.4. Suppose G acts topologically transitively on M preserving its pseudoRiemannian metric and satisfying $n_0 = m_0$...
• LEMMA 3.5. With the conditions of Proposition 3.4, the leaves of the foliation defined by TO¹ are complete for the metric induced by M.
• PROPOSITION 3.6. Suppose G acts topologically transitively on M preserving its pseudoRiemannian metric and satisfying $n_0 = m_0$...
• COROLLARY 3.7. Let G, M and N be as in the hypotheses of Proposition 3.6...
• 4. Geometry of bi-invariant metrics on G
• PROPOSITION 4.1. G is a pseudoRiemannian symmetric space whose associated pseudoRiemannian symmetric triple can be chosen to be of the form (g × g, σ, B)...
• PROPOSITION 4.2. For any bi-invariant pseudoRiemannian metric on G, the universal covering space G is weakly irreducible.
• PROPOSITION 4.3. Let N be a connected complete Riemannian (or antiRiemannian) manifold. Then any isometry of the pseudoRiemannian product G × N preserves the factors...
• LEMMA 4.4. Denote by Iso(G)e the isotropy subgroup at e ∈ G...