Giới thiệu
Bài báo này nghiên cứu về tính khả vi Fréchet của các ánh xạ Lipschitz giữa các không gian Banach. Một câu hỏi mở quan trọng là liệu mọi tập hợp đếm được các hàm Lipschitz trên không gian Banach $X$ với đối ngẫu tách được có một điểm chung khả vi Fréchet hay không. Nghiên cứu chỉ ra rằng câu trả lời là khẳng định đối với một số không gian $X$ vô hạn chiều nhất định.
Để đạt được kết quả này, bài báo giới thiệu một lớp tập hợp rỗng mới trong không gian Banach, được gọi là tập hợp $\Gamma$-rỗng. Định nghĩa của tập hợp này kết hợp cả hai khái niệm về hạng mục và độ đo. Bài báo chứng minh rằng tính khả vi cần thiết xảy ra hầu như ở mọi nơi đối với các tập hợp này.
Kết quả chính của công trình là một ánh xạ Lipschitz giữa các không gian Banach tách được là khả vi Fréchet gần như ở mọi nơi thuộc $\Gamma$ nếu nó khả vi Gâteaux đều đặn gần như ở mọi nơi thuộc $\Gamma$ và các đạo hàm Gâteaux nằm trong một không gian toán tử tách được. Điều này ngụ ý rằng các ánh xạ Lipschitz tới các không gian có tính chất Radon-Nikodým là khả vi Gâteaux gần như ở mọi nơi thuộc $\Gamma$. Hơn nữa, tính khả vi Gâteaux dẫn đến tính khả vi Gâteaux đều đặn ngoại trừ các tập hợp có thể bỏ qua, được gọi là tập hợp $\sigma$-xốp.
Do đó, câu hỏi đặt ra được trả lời khẳng định trong mọi không gian mà mọi tập hợp $\sigma$-xốp là $\Gamma$-rỗng. Bài báo chỉ ra rằng điều này đúng đối với $C(K)$ với $K$ là tập hợp đếm được, không gian Tsirelson và tất cả các không gian con của $c_0$. Tuy nhiên, điều này không đúng đối với các không gian Hilbert.
Ngành
Toán học
Mục lục chi tiết:
- Abstract
- 1. Introduction
- 2. $\Gamma$-null sets
- 3. Fréchet differentiability
- 4. Spaces in which $\sigma$-porous sets are $\Gamma$-null