The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold IV; Locally simply connected

Giới thiệu

Bài báo này là phần thứ tư trong một loạt các công trình mô tả không gian của tất cả các bề mặt tối thiểu nhúng có chi tiết cố định trong một đa tạp 3 chiều cố định (nhưng tùy ý, đóng). Chìa khóa là hiểu cấu trúc của một đĩa tối thiểu nhúng trong một quả cầu trong R³. Điều này đã được thực hiện trong [CM3], [CM4] và phiên bản toàn cục sẽ được hoàn thành ở đây. Các kết quả chính của chúng tôi là Định lý 0.1 (định lý lát) và Định lý 0.2 (ước lượng độ cong một phía).

Định lý lát được phát biểu trong trường hợp toàn cục, nơi lát cắt thực sự là một lớp học. Bốn bài báo đầu tiên trong loạt bài này cho thấy mọi đĩa tối thiểu nhúng hoặc là đồ thị của một hàm hoặc là một cầu thang xoắn ốc kép, trong đó mỗi cầu thang là một đồ thị đa trị. Điều này được thực hiện bằng cách chỉ ra rằng nếu độ cong lớn tại một điểm nào đó (và do đó bề mặt không phải là đồ thị), thì đó là một cầu thang xoắn ốc kép giống như helicoid. Để chứng minh rằng đĩa như vậy là một cầu thang xoắn ốc kép, chúng tôi đã chỉ ra trong ba bài báo đầu tiên rằng nó được xây dựng từ các đồ thị N-giá trị, trong đó N là một số cố định. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giải quyết cách các đồ thị đa trị khớp với nhau và đặc biệt là chứng minh tính chính quy của tập hợp các điểm có độ cong lớn - trục của cầu thang xoắn ốc kép.

Định lý đầu tiên là phiên bản toàn cục của mệnh đề rằng mọi đĩa tối thiểu nhúng đều là một cầu thang xoắn ốc kép.

Định lý 0.1 (xem Hình 1).

Cho một dãy các đĩa tối thiểu nhúng với ∂Σᵢ ⊂ ∂B_Rᵢ sao cho Rᵢ → ∞. Nếu sup_BRᵢ |A|² → ∞, thì tồn tại một dãy con, Σⱼ, và một đường cong Lipschitz S: R → R³ sao cho sau khi quay R³, ta có:

• x₃(S(t)) = t. (Nghĩa là, S là đồ thị trên trục x₃.)
• Mỗi Σⱼ bao gồm đúng hai đồ thị đa trị ngoài S (chúng xoắn lại với nhau).
• Đối với mọi 1 > α > 0, Σⱼ \ S hội tụ theo tôpô C^α đến lớp học F = {x₃ = t}_t∈R của R³.
• sup_{Br(S(t))∩Σj} |A|² → ∞ khi j → ∞ đối với mọi r > 0, t ∈ R. (Độ cong tăng lên dọc theo S.)

Định lý chính thứ hai khẳng định rằng mọi đĩa tối thiểu nhúng nằm trên một mặt phẳng, và gần mặt phẳng đó tại gốc tọa độ, đều là một đồ thị.