Giới thiệu
Bài báo này là phần thứ hai trong một loạt các nghiên cứu nhằm mô tả không gian của tất cả các bề mặt tối thiểu nhúng với chi tiết cố định trong một đa tạp 3 chiều đóng tùy ý. Chìa khóa để hiểu các bề mặt như vậy là nắm bắt cấu trúc cục bộ trong một quả cầu và đặc biệt là cấu trúc của một đĩa tối thiểu nhúng trong một quả cầu trong $\mathbb{R}^3$.
Nghiên cứu chỉ ra rằng nếu độ cong của một đĩa như vậy trở nên lớn tại một điểm, thì nó sẽ chứa một đồ thị đa trị gần đó, gần như phẳng, kéo dài gần như đến tận biên. Điều này được chứng minh bằng cách cho thấy sự tồn tại của các đồ thị đa trị nhỏ gần các điểm có độ cong lớn, sau đó sử dụng kết quả mở rộng cho đồ thị đa trị đã được chứng minh trong bài báo trước.
Có hai mô hình cục bộ cho các đĩa tối thiểu nhúng. Một mô hình là mặt phẳng (hoặc tổng quát hơn là đồ thị tối thiểu), mô hình còn lại là một phần của mặt xoắn ốc (helicoid). Trong bốn bài báo đầu tiên của loạt bài này, các tác giả sẽ chỉ ra rằng mọi đĩa tối thiểu nhúng đều hoặc là đồ thị của một hàm số hoặc là một cầu thang xoắn ốc kép tương tự như mặt xoắn ốc. Một cầu thang xoắn ốc kép bao gồm hai cầu thang xoắn ốc xoay quanh một trục chung, một bên trong bên kia. Việc chứng minh điều này dựa trên việc cho thấy nếu độ cong lớn tại một điểm (và do đó bề mặt không phải là đồ thị), thì nó là một cầu thang xoắn ốc kép. Để chứng minh điều này, trước tiên sẽ chứng minh rằng nó được cấu tạo từ các đồ thị N-giá trị, trong đó N là một số cố định. Các đồ thị N-giá trị này giống như một cầu thang xoắn ốc đơn kết nối N tầng. Sự tồn tại của các đồ thị đa trị đã được khởi xướng trong bài báo đầu tiên và sẽ được hoàn thiện ở đây. Các bài báo thứ ba và thứ tư của loạt bài này sẽ đề cập đến cách các đồ thị đa trị khớp với nhau và đặc biệt là chứng minh tính đều đặn của tập hợp các điểm có độ cong lớn - trục của cầu thang xoắn ốc kép.
Mục lục chi tiết:
- 0. Introduction
- 1. Poincaré and Caccioppoli-type inequalities for area and curvature
- 2. Finding large nearly stable pieces