A Mass Transference Principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures

Giới thiệu

Nghiên cứu này giới thiệu và thảo luận về một phiên bản của giả thuyết Duffin-Schaeffer cho đo lường Hausdorff. Giả thuyết tổng quát được thiết lập dựa trên giả thuyết gốc. Kết quả chính là một Nguyên lý Chuyển khối lượng cho phép chuyển các phát biểu lý thuyết đo lường Lebesgue cho các tập con giới hạn trên của R^k sang các phát biểu lý thuyết đo lường Hausdorff. Điều này cho thấy lý thuyết Lebesgue về các tập giới hạn trên là nền tảng cho lý thuyết Hausdorff tổng quát, một điều khá đáng ngạc nhiên vì lý thuyết Hausdorff thường được coi là một sự tinh chỉnh phức tạp hơn của lý thuyết Lebesgue.

Trong bài báo, chúng tôi xem xét một tổng quát hóa của Giả thuyết 1, được coi là vấn đề thực sự và việc chứng minh nó sẽ hoàn thiện lý thuyết đo lường tổng quát. Với hàm chiều f và đo Hausdorff H_f, giả sử r^-kf(r) là hàm đơn điệu, chúng tôi giới thiệu Giả thuyết 2. Khi H_f = m (đo Lebesgue), Giả thuyết 2 tương đương với Giả thuyết 1. Kết quả chính của bài báo là chứng minh điều ngược lại: Giả thuyết 1 kéo theo Giả thuyết 2. Điều này dẫn đến những hệ quả bất ngờ, bao gồm việc chứng minh Giả thuyết 2 cho k ≥ 2 và mối liên hệ giữa Định lý Khintchine và Định lý Jarník.

Ngành

Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu

Bài báo giới thiệu phiên bản đo lường Hausdorff của giả thuyết Duffin-Schaeffer trong lý thuyết số đo. Giả thuyết tổng quát được thiết lập dựa trên giả thuyết gốc. Kết quả then chốt là Nguyên lý Chuyển khối lượng, cho phép chuyển các phát biểu lý thuyết đo Lebesgue của các tập hợp giới hạn trên trong R^k sang các phát biểu lý thuyết đo Hausdorff. Điều này cho thấy lý thuyết Lebesgue về các tập hợp giới hạn trên là nền tảng cho lý thuyết Hausdorff tổng quát, mặc dù lý thuyết Hausdorff thường được xem là một sự tinh chỉnh phức tạp hơn.

Bài báo cũng xem xét một tổng quát hóa của Giả thuyết 1 cho đo lường Hausdorff, được gọi là Giả thuyết 2. Khi đo lường Hausdorff bằng đo Lebesgue, Giả thuyết 2 trở thành Giả thuyết 1. Kết quả chính của bài báo là chứng minh Giả thuyết 1 kéo theo Giả thuyết 2. Điều này dẫn đến các hệ quả quan trọng, bao gồm việc chứng minh Giả thuyết 2 cho trường hợp k ≥ 2 và thiết lập mối liên hệ giữa Định lý Khintchine và Định lý Jarník.

Mục lục chi tiết

• 1. Introduction
• 1.1. The Duffin-Schaeffer conjecture
• 1.2. The Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures
• 1.3. Statement of results
• 2. Preliminaries
• 2.1. Hausdorff measures
• 2.2. Positive and full measure sets
• 3. A mass transference principle
• 3.1. Proof of Theorem 1
• 3.2. The Jarník-Besicovitch theorem
• 4. The K_G,B covering lemma
• 5. Proof of Theorem 2 (Mass Transference Principle)
• 5.1. The desired properties of K_η