Automorphic distributions, L-functions, and Voronoi summation for GL(3)

Giới thiệu

Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một tổng quát hóa của công thức tổng Voronoi cho các biểu diễn tự đẳng cấu GL(3, 𝐙)-automorphic của GL(3, 𝐑). Kỹ thuật của chúng tôi khá tổng quát và dự kiến sẽ được mở rộng cho trường hợp GL(n, 𝐐)\GL(n, 𝐀) trong tương lai. Các lập luận của chúng tôi sử dụng nhiều lý thuyết biểu diễn.

Để minh họa ý tưởng chính, chúng tôi bắt đầu bằng cách suy ra tổng quát hóa nổi tiếng của công thức tổng Voronoi cho các hệ số của dạng modular trên GL(2), như được nêu trong các phương trình (1.12)–(1.16). Công thức này thực sự là của Wilton [18] và không nằm trong số các công thức mà Voronoi dự đoán. Tuy nhiên, do phong cách tương tự, người ta thường gọi nó là công thức tổng Voronoi. Chúng tôi sẽ tuân theo truyền thống này và coi công thức GL(3) của chúng tôi là một trường hợp của tổng Voronoi.

Công thức GL(2) thường được suy ra từ dạng modular thông qua chuỗi Dirichlet và phép nghịch đảo Mellin. Chúng tôi sẽ mô tả mối liên hệ với chuỗi Dirichlet sau này trong phần giới thiệu này. Vì chúng tôi muốn làm nổi bật các khía cạnh phân tích của lập luận, chúng tôi tập trung vào trường hợp các dạng modular bất biến dưới Γ = SL(2, 𝐙). Những thay đổi cần thiết để xử lý trường hợp nhóm con đồng dư có thể dễ dàng được điều chỉnh từ [10], [23].

Chúng tôi xem xét một dạng tự đẳng cấu GL(2, 𝐙)-cuspidal trên nửa mặt phẳng phức trên H = {z ∈ ℂ | Im z > 0}. Điều này bao gồm hai khả năng riêng biệt: hoặc là một dạng cusp dạng modular, có trọng số chẵn k, hoặc là một dạng Maass cusp – tức là, Φ ∈ ℂ^∞(H), y² ΔΦ = λΦ với λ = 1 − ν², ν ∈ iℝ, và Φ(x + iy) = ∑_n≠0 a_n √y K_ν(2π|n|y) e(nx). Trong cả hai trường hợp, Φ được xác định hoàn toàn bởi phân bố T(x) = ∑_n≠0 a_n [n]^-ν e(nx).

Tóm tắt nội dung tài liệu

Bài báo này trình bày một tổng quát hóa của công thức tổng Voronoi cho các biểu diễn tự đẳng cấu GL(3, 𝐙)-automorphic của GL(3, 𝐑). Nghiên cứu tập trung vào việc phát triển một kỹ thuật phân tích mới dựa trên khái niệm phân bố tự đẳng cấu, cho phép suy ra công thức tổng Voronoi cho GL(3) mà không cần sử dụng các phương pháp cổ điển liên quan đến chuỗi Hecke. Bài báo cũng thảo luận về các mối liên hệ với lý thuyết biểu diễn, các hàm L tự đẳng cấu, và các ứng dụng tiềm năng trong lý thuyết số.

Mục lục chi tiết

• 1. Giới thiệu
• 2. Phân bố tự đẳng cấu
• 3. Chuỗi Fourier trên nhóm Heisenberg