Giới thiệu
Trong bài báo này, chúng tôi phát triển một phương pháp để thiết lập, trong một số trường hợp quan trọng, một phỏng đoán của De Giorgi đưa ra cách đây hơn 20 năm. Bài toán này bắt nguồn từ lý thuyết chuyển pha và có liên quan chặt chẽ đến lý thuyết các siêu mặt tối thiểu, đôi khi được gọi là "phiên bản ǫ của bài toán Bernstein cho các đồ thị tối thiểu". Phỏng đoán đã được giải quyết hoàn toàn trong chiều 2 bởi các tác giả [15] và trong chiều 3 trong [2]. Tuy nhiên, cách tiếp cận trong bài báo này dường như là lần đầu tiên sử dụng một cách thiết yếu, lời giải của bài toán Bernstein, khẳng định rằng các đồ thị tối thiểu trong không gian Euclid nhất thiết là các siêu phẳng với điều kiện chiều của không gian bao không lớn hơn 8. Chúng tôi lưu ý rằng lời giải của bài toán Bernstein cũng đã được sử dụng trong [18] để đơn giản hóa một lập luận trong [9]. Dưới đây là phỏng đoán được phát biểu bởi De Giorgi [12].
Phỏng đoán 1.1.
Giả sử u là một nghiệm toàn phần của phương trình
Δu + u - u^3 = 0, |u| ≤ 1, x = (x', xn) ∈ Rn
thỏa mãn
∂u / ∂xn > 0, x ∈ Rn.
Khi đó, ít nhất với n ≤ 8, các tập mức của u phải là các siêu phẳng.
Phỏng đoán có thể được xem xét cùng với điều kiện tự nhiên, nhưng không phải lúc nào cũng thiết yếu sau đây:
lim xn→±∞ u(x', xn) = ±1.
Số hạng phi tuyến trong phương trình là một ví dụ điển hình của tiềm năng hai giếng và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hình dạng của một lớp chuyển tiếp từ pha này sang pha khác của chất lỏng hoặc hỗn hợp. Phỏng đoán về cơ bản khẳng định rằng cấu hình cơ bản gần giao diện nên là duy nhất và nên phụ thuộc duy nhất vào khoảng cách đến giao diện đó.
Người ta có thể xem xét cùng một bài toán với phi tuyến tính tổng quát hơn
Δu - F'(u) = 0, |u| ≤ 1, x ∈ Rn
trong đó F ∈ C2[-1,1] là một tiềm năng hai giếng, tức là
F(u) > 0, u ∈ (-1,1), F(-1) = F(1) = 0
F(-u) = F(u), u ∈ (-1,1)
Hầu hết các thảo luận trong bài báo này chỉ cần các điều kiện trên đối với F. Tuy nhiên, Định lý 1.2 dưới đây yêu cầu điều kiện đối xứng bổ sung sau:
F(-u) = F(u), u ∈ (-1,1).
Lưu ý rằng phương trình (1.4) với F(u) = (1 – u²)² quy về (1.1). Các diễn biến gần đây về phỏng đoán có thể được tìm thấy trong [15], [4], [7], [14], [2], [1]. Một số công trình trước đây về chủ đề này có thể được tìm thấy trong [12], [20]-[24]. Modica là người đầu tiên thu được các kết quả (một phần) cho n = 2. Một dạng mạnh của Phỏng đoán De Giorgi đã được chứng minh cho n = 2 bởi các tác giả [15], và sau đó cho n = 3 bởi Ambrosio-Cabre [2]. Nếu thay thế (1.2) và (1.3) bằng điều kiện hội tụ đều sau đây:
u(x',xn) → ±1 khi xn → ∞ đồng đều trên x' ∈ Rn,
người ta có thể hỏi liệu
u(x) = g(x · a + T) với một số T ∈ R
trong đó g là nghiệm của ODE một chiều tương ứng.
Mục lục chi tiết:
- Giới thiệu
- Phỏng đoán De Giorgi và bài toán Bernstein cho các đồ thị tối thiểu
- Ước lượng năng lượng trên các hình trụ
- Chứng minh Định lý 1.1