Giới thiệu
Đề tài "Quasilinear and Hessian equations of Lane-Emden type" tập trung nghiên cứu các bài toán tồn tại và ước lượng nghiệm toàn cục cho các phương trình dạng Lane-Emden, bao gồm hai bài toán mô hình chính:
- −∆pu = uq + μ, u ≥ 0
- Fk[−u] = uq + μ, u ≥ 0
trong đó ∆p là toán tử p-Laplacian và Fk là toán tử k-Hessian. Các phương trình này xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như ánh xạ gần đúng, chất lưu phi Newton, bài toán phản ứng-khuếch tán và điều khiển ngẫu nhiên.
Nghiên cứu này giải quyết bài toán về tính khả giải của các lớp phương trình này theo nghĩa chuẩn hóa (entropy) hoặc độ nhớt (viscosity), ngay cả với dữ liệu μ ∈ Ls(Ω) với s > 1. Các kết quả về tính khả giải được suy ra từ tiêu chí tồn tại với các số mũ chính xác là s = n(q-p+1)/(n(p-1)) cho phương trình thứ nhất và s = n(q-k)/(n(p-1)) cho phương trình thứ hai. Hơn nữa, bài báo cung cấp một đặc tả hoàn chỉnh về các điểm kỳ dị có thể loại bỏ.
Các phương pháp được sử dụng dựa trên việc áp dụng các tiềm năng Wolff, mô hình nhị phân và các bất đẳng thức vết phi tuyến. Nghiên cứu này tận dụng những tiến bộ gần đây trong lý thuyết tiềm năng và phương trình đạo hàm riêng của Kilpeläinen và Malý, Trudinger và Wang, Labutin, cho phép xử lý đồng thời các nghiệm kỳ dị, toán tử không cục bộ và các điểm kỳ dị phân tán, cũng như phát triển lý thuyết cho cả phương trình bán tuyến tính và phương trình dạng Monge-Ampère.