Giới thiệu
Trong công trình này, chúng tôi nghiên cứu về các dạng toàn phương không suy biến, không xác định, vô tỉ có chữ ký (2, 2) và khoảng cách giữa các giá trị riêng trên các tô 2 chiều hình chữ nhật. Chúng tôi xây dựng dựa trên các kết quả trước đây về giả thuyết Oppenheim, được chứng minh bởi Margulis, và phiên bản định lượng của nó được thiết lập trong [EMM].
Bài báo trình bày một kết quả chính liên quan đến các dạng toàn phương có chữ ký (2, 2) không phải là EWAS (extremely well approximable by split forms). Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng đối với các khoảng (a, b) không chứa 0, số điểm nguyên trong một tập hợp được xác định bởi một dạng toàn phương như vậy tuân theo một công thức tiệm cận nhất định. Điều này trái ngược với các trường hợp có chữ ký khác, nơi định lý 1.1 của [EMM] áp dụng.
Một khía cạnh quan trọng khác của nghiên cứu này là khám phá sự phân bố khoảng cách giữa các giá trị riêng của dòng trắc địa trên các tô phẳng 2 chiều. Chúng tôi liên kết vấn đề này với bài toán khoảng cách giữa các giá trị tại các số nguyên của một dạng toàn phương nhị phân và với bài toán Oppenheim định lượng trong trường hợp chữ ký (2, 2). Chúng tôi cũng thảo luận về phỏng đoán Berry-Tabor, cho rằng các khoảng cách liên tiếp nên tuân theo một quá trình điểm Poisson và được phân phối theo hàm mũ một cách độc lập và giống hệt nhau.
Công trình này giới thiệu các khái niệm mới như "không gian con quasinull" và "dạng toàn phương EWAS" để xử lý các trường hợp đặc biệt phát sinh với chữ ký (2, 2). Chúng tôi phát triển các công cụ kỹ thuật mới, bao gồm cả việc sử dụng các hình chữ nhật và "tính chất lồng nhau", để đạt được các kết quả của mình. Các chứng minh kỹ thuật liên quan đến việc phân tích hành vi tiệm cận của các tích phân trên không gian các mạng lưới unimodular và các ước tính về đóng góp của các không gian con quasinull.
Mục lục chi tiết:
- 1. Introduction
- 2. Passage to the space of lattices
- 3. Proof of Theorem 2.3
- 4. The rectangles
- 5. The scheme of the proof of Theorem 2.6
- 6. Proof of Step 1
- 7. The nesting property