Đề tài: Quantum Riemann-Roch, Lefschetz and Serre
Ngành: Toán học
Tài liệu này trình bày một cách tiếp cận mới đối với các bất biến Gromov-Witten xoắn (twisted Gromov-Witten invariants) của một đa tạp Kähler compact X với một bó vector phức E. Sử dụng phương pháp Hamiltonians bậc hai lượng tử hóa, các tác giả biểu diễn tiềm năng hậu duệ (descendant potential) cho lý thuyết xoắn theo tiềm năng cho X. Kết quả này, được phát biểu trong Định lý 1, là hệ quả của định lý Grothendieck-Riemann-Roch của Mumford áp dụng cho họ phổ quát trên không gian mô đun của các ánh xạ ổn định. Nó xác định tất cả các bất biến Gromov-Witten xoắn, ở mọi thể loại, thông qua các bất biến không xoắn.
Khi E là bó vector lõm và lớp Euler nghịch đảo tương ứng với lớp đặc trưng, các bất biến xoắn của X cho ta các bất biến Gromov-Witten của không gian toàn phần của E. Tính đối ngẫu Serre phi tuyến (Nonlinear Serre duality) biểu diễn các bất biến Gromov-Witten của E theo các bất biến của siêu đa tạp ΠΕ. Tài liệu này suy ra tính đối ngẫu Serre phi tuyến ở dạng tổng quát. Khi bó E là lồi và một siêu đa tạp con Y C X được xác định bởi một tiết diện toàn cục của E, các bất biến Gromov-Witten thể loại bằng không của ΠΕ trùng với các bất biến của Y. Các tác giả thiết lập một nguyên lý "lý thuyết siêu phẳng Lefschetz lượng tử" (quantum Lefschetz hyperplane section principle) (Định lý 2) biểu diễn các bất biến Gromov-Witten thể loại bằng không của một giao điểm hoàn chỉnh Y theo các bất biến của X. Điều này mở rộng các kết quả trước đó và mang lại hầu hết các công thức gương (mirror formulas) đã biết cho các giao điểm hoàn chỉnh hình xuyến (toric complete intersections).
Mục lục chi tiết:
- Giới thiệu
- 1. Hàm sinh (Generating functions)
- 2. Chính quy hóa (Quantization formalism)
- 3. Định lý Riemann-Roch lượng tử (Quantum Riemann-Roch)
- 4. Lớp Euler (The Euler class)
- 5. Serre lượng tử (Quantum Serre)
- 6. Bức tranh thể loại bằng không (The genus-zero picture)
- 7. Định lý Lefschetz lượng tử (Quantum Lefschetz)
- 8. Chứng minh Định lý 2 (Proof of Theorem 2)
- 9. Công thức gương (Mirror formulas)
- 10. Đối ngẫu Serre ở thể loại bằng không (Serre duality in genus zero)