Curve shortening and the topology of closed geodesics on surfaces

Giới thiệu

Nghiên cứu này tập trung vào các loại "nút phẳng" của các đường trắc địa trên bề mặt compact M². Với mỗi loại nút phẳng và mỗi phép đo Riemann g, chúng tôi giới thiệu một chỉ số Conley liên kết với luồng rút ngắn đường cong trên không gian các đường cong nhúng trên M². Chúng tôi kết luận về sự tồn tại của các đường trắc địa đóng với các loại nút phẳng được chỉ định trước, với điều kiện là chỉ số Conley liên kết là không tầm thường.

1. Giới thiệu

Nếu M là một bề mặt với phép đo Riemann g, thì các đường trắc địa đóng trên (M,g) là các điểm tới hạn của hàm độ dài L(γ) = ∫ |γ'(x)|dx được định nghĩa trên không gian các đường cong nhúng C² chưa tham số hóa có định hướng, tức là chúng ta xem xét các đường trắc địa đóng như là các phần tử của không gian:

Ω = Imm(S¹, M)/Diff⁺(S¹).

Ở đây, Imm(S¹, M) = {γ ∈ C²(S¹, M) | γ'(ξ) ≠ 0 với mọi ξ ∈ S¹} và Diff⁺(S¹) là nhóm các vi phân bảo tồn định hướng C² của S¹ = R/Z. (Chúng ta sẽ linh hoạt trong ký hiệu, sử dụng cùng một ký hiệu γ để chỉ cả một phép tham số hóa thuận tiện trong C²(S¹; M) và lớp tương đương tương ứng trong Ω.)

Luồng gradient tự nhiên của hàm độ dài được cho bởi phép rút ngắn đường cong, tức là bởi phương trình tiến hóa:

$$\frac{\partial \gamma}{\partial t} = \nabla_{\gamma} \kappa(\gamma) = \Delta_{\gamma} \gamma + \kappa(\gamma) \gamma$$

Vào năm 1905, Poincaré [33] đã chỉ ra rằng các đường trắc địa trên bề mặt là các đường cong nhúng không có tiếp tuyến tự tiếp xúc. Tương tự, các đường trắc địa khác nhau không thể tiếp tuyến, tất cả các giao điểm của chúng phải là giao điểm xuyên tuyến. Điều này cho phép phân loại các đường trắc địa đóng theo số lượng giao điểm tự tiếp xúc, hoặc "loại nút phẳng" của chúng.