Stretched Exponential Estimates On Growth Of The Number Of Periodic Points For Prevalent Diffeomorphisms I

Giới thiệu

Nghiên cứu này tập trung vào bài toán về tốc độ tăng trưởng của số điểm chu kỳ có chu kỳ n đối với các diffeomorphism trên các đa tạp compact hữu hạn chiều.

Ngành

Toán học

Tóm tắt nội dung tài liệu

Trong các trường hợp quen thuộc (ví dụ: hệ Anosov), sự tăng trưởng này là theo cấp số nhân, tuy nhiên, tốc độ tăng trưởng tùy ý là có thể. Nghiên cứu này chỉ ra rằng, đối với một khái niệm về tính phổ quát dựa trên lý thuyết đo lường mà chúng tôi gọi là "phổ biến" (prevalence), sự tăng trưởng này không nhanh hơn nhiều so với cấp số nhân. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng với mọi ρ, δ > 0, tồn tại một tập hợp các diffeomorphism C^1+ρ (hoặc trơn hơn) có tính phổ biến, trong đó số điểm chu kỳ n bị chặn trên bởi exp(Cn^1+δ) với một hằng số C độc lập với n. Chúng tôi cũng thu được một giới hạn liên quan đến sự suy giảm của tính hypebol của các điểm chu kỳ như một hàm của n, và thu được kết quả tương tự cho các endomorphism 1 chiều. Sự tương phản giữa hành vi phổ quát về mặt tôpô và hành vi phổ quát về mặt lý thuyết đo lường đối với sự tăng trưởng số điểm chu kỳ và sự suy giảm tính hypebol của chúng cho thấy đây là một hiện tượng tinh tế và phức tạp, gợi nhớ đến lý thuyết KAM. Phần I của bài viết này trình bày các kết quả và mô tả các phương pháp được sử dụng. Chúng tôi hoàn thành phần lớn chứng minh trong trường hợp C²-trơn 1 chiều và phác thảo các bước còn lại, được chuyển sang Phần II, cần thiết để thiết lập trường hợp tổng quát. Tính năng mới của cách tiếp cận chúng tôi phát triển trong bài báo này là việc giới thiệu các Đa thức Nội suy Newton như một công cụ để nhiễu loạn các quỹ đạo của các ánh xạ lặp.

Mục lục chi tiết:

• 1. Bài toán về sự tăng trưởng số điểm chu kỳ và sự suy giảm tính hypebol đối với các diffeomorphism phổ quát
• 1.1. Giới thiệu
• 1.2. Tính phổ biến trong không gian các diffeomorphism Diff^r(M)
• 1.3. Phát biểu kết quả chính trong trường hợp đa chiều
• 1.4. Phát biểu kết quả chính trong trường hợp 1 chiều
• 2. Chiến lược chứng minh
• 2.1. Các nhiễu loạn khác nhau của các quỹ đạo hồi quy bằng đa thức nội suy Newton
• 2.2. Nội suy Newton và thổi phồng dọc theo đường chéo trong không gian đa bội
• 2.3. Ước tính độ đo của các tham số "xấu" và phép rút gọn Fubini thành các họ hữu hạn chiều
• 2.4. Quỹ đạo đơn giản và Giả thuyết Quy nạp
• 3. Bài toán mô hình: các ánh xạ C²-trơn của khoảng I = [-1,1]
• 3.1. Thiết lập bài toán
• 3.2. Phân rã thành các giả quỹ đạo
• 3.3. Ứng dụng đa thức nội suy Newton để ước tính độ đo của các tham số "xấu" cho một quỹ đạo đơn lẻ
• 3.4. Bổ đề Phân rã và Bổ đề Thu thập
• 3.5. Phương pháp rời rạc hóa cho các quỹ đạo có khoảng trống
• 3.5.1. Phân rã các tham số không đơn giản thành các nhóm
• 3.5.2. Phân rã thành các giả quỹ đạo hồi quy thứ i
• 3.6. Độ đo của các ánh xạ có giả quỹ đạo hồi quy thứ i, không đủ độ hypebol với khoảng trống và chứng minh các bổ đề phụ
• 4. So sánh phương pháp rời rạc hóa trong trường hợp 1 chiều và N chiều
• 4.1. Sự phụ thuộc của các ước tính chính vào N và ρ
• 4.2. Không gian đa chiều của các sai phân phân chia và các tham số thiết yếu về mặt động lực
• 4.3. Bổ đề Phân rã Đa chiều
• 4.4. Từ một viên gạch có độ dày tối đa chuẩn đến một viên gạch chấp nhận được
• 4.5. Ước tính chính về độ đo của các tham số "xấu"
• Tài liệu tham khảo