Tên đề tài:
Sum rules for Jacobi matrices and their applications to spectral theory
Ngành:
Toán học
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Bài báo này nghiên cứu về các quy tắc tổng (sum rules) cho ma trận Jacobi và ứng dụng của chúng trong lý thuyết phổ. Cụ thể, bài báo trình bày bằng chứng và ứng dụng có hệ thống các quy tắc tổng của Case cho ma trận Jacobi. Một điểm đặc biệt được nhấn mạnh là sự kết hợp tuyến tính của hai quy tắc tổng, tạo ra các số hạng có dấu dương rõ rệt.
Một trong những kết quả chính của nghiên cứu này là việc phân loại hoàn chỉnh các phép đo phổ của tất cả các ma trận Jacobi mà hiệu của chúng với ma trận chuẩn Jo là lớp Hilbert-Schmidt. Bên cạnh đó, bài báo còn chứng minh giả thuyết của Nevai rằng điều kiện Szegő được thỏa mãn khi hiệu J - Jo thuộc lớp vết (trace class).
Nghiên cứu cũng đi sâu vào mối quan hệ một-một giữa ma trận Jacobi và các phép đo đơn vị có giá đỡ compact và chứa vô số điểm. Các phương pháp được sử dụng bao gồm đa thức trực giao và khai triển liên phân số. Các định lý quan trọng được trình bày bao gồm mối liên hệ giữa việc ma trận J - Jo là lớp Hilbert-Schmidt và bốn tính chất của phép đo phổ tương ứng, cũng như điều kiện để quy tắc tổng Szegő được thỏa mãn.
Mục lục chi tiết:
- Abstract
- 1. Introduction
- THEOREM 1. Let J be a Jacobi matrix and µ the corresponding spectral measure.
- THEOREM 2. If J – Jo is in trace class, that is, ...
- THEOREM 3. If J – Jo is compact and ...
- THEOREM 4 (Previously Known). Suppose µ is a probability measure supported on [−2,2].
- THEOREM 4'. If σ(J) ⊂ [−2,2] and ...
- 2. Perturbation determinants and the Jost function
- PROPOSITION 2.1. The characteristic polynomial of J0,n;F is ...
- PROPOSITION 2.2. Let Tm be the Chebyshev polynomial (of the first kind): ...
- LEMMA 2.3. If A is a matrix and || · ||p the Schatten Ip norm [53], then ...
- THEOREM 2.4. Let Cn = max(|an−1 – 1|, |bn|, |an – 1|). For any p ∈ [1,∞), ...
- THEOREM 2.5. Suppose SJ ∈ 11. ...
- LEMMA 2.6. Let C be diagonal positive trace class matrix. For |z| < 1, define ...
- LEMMA 2.7. Let 8J be trace class. Then ...