Giới thiệu
Đề tài này tập trung vào việc chứng minh một dạng định lượng sắc nét của bất đẳng thức Isoperimetric cổ điển. Nghiên cứu này cung cấp một câu trả lời tích cực cho một phỏng đoán của Hall.
1. Giới thiệu
Bất đẳng thức Isoperimetric cổ điển phát biểu rằng, đối với một tập đo Lebesgue hữu hạn $E$ trong không gian $R^n$ ($n \ge 2$), quả cầu có cùng thể tích sẽ có chu vi nhỏ hơn. Một cách tương đương, điều này có nghĩa là:
$$ \omega_n^{1/n} |E|^{(n-1)/n} < P(E) $$
trong đó $P(E)$ là chu vi phân bố của $E$ và $\omega_n$ là thể tích của quả cầu đơn vị trong $R^n$. Trường hợp đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $E$ là một quả cầu.
Lịch sử nghiên cứu và các công thức khác nhau của bất đẳng thức Isoperimetric rất phong phú và phức tạp. Bài báo này tập trung vào việc chứng minh một phiên bản định lượng của bất đẳng thức này. Các bất đẳng thức dạng này được gọi là bất đẳng thức kiểu Bonnesen, theo kết quả của Bonnesen trong mặt phẳng.
2. Các bất đẳng thức kiểu Bonnesen
Một bất đẳng thức kiểu Bonnesen được định nghĩa cho các tập hợp trơn $E$ trong mặt phẳng $R^2$ dưới dạng:
$$ \lambda(E) < P(E)^2 - 4\pi |E| $$
trong đó $\lambda(E)$ là một đại lượng có ba tính chất:
- (i) $\lambda(E)$ không âm.
- (ii) $\lambda(E)$ bằng 0 chỉ khi $E$ là một quả cầu.
- (iii) $\lambda(E)$ là một thước đo sự bất đối xứng của $E$.
Bất kỳ bất đẳng thức Bonnesen nào cũng ngụ ý bất đẳng thức Isoperimetric và đặc tả trường hợp đẳng thức.
3. Giảm về các tập hợp đối xứng trục
Phần này trình bày cách giảm bài toán từ trường hợp tổng quát sang trường hợp đối xứng trục, là bước khởi đầu cho lập luận quy nạp theo chiều $n$ để chứng minh Định lý 1.1.
4. Giảm về các tập hợp n-đối xứng
Mục tiêu của phần này là chứng minh sự tồn tại của một tập hợp $F$ có tính đối xứng cao, sao cho nó gần với tập hợp ban đầu $E$ về mặt bất đẳng thức Isoperimetric và độ bất đối xứng.
Tên đề tài: The sharp quantitative isoperimetric inequality
Ngành: Toán học