Giới thiệu
Đề tài này tập trung vào việc nghiên cứu các nghiệm Lipschitz của các quan hệ vi phân đạo hàm riêng dạng ∇u(x) ∈ K hầu khắp nơi trong Ω. Trong đó, u là ánh xạ Lipschitz từ miền mở Ω ⊂ ℝn vào ℝm, ∇u(x) là ma trận đạo hàm của u tại x, và K là một tập con của tập hợp các ma trận thực m × n.
Nghiên cứu này mở rộng các kết quả trước đó về nhúng đẳng cự (isometric immersions) C1 và Lipschitz, đặc biệt là các công trình của Nash, Kuiper và Gromov. Đề tài cũng xem xét các bài toán liên quan đến năng lượng đàn hồi của các vi cấu trúc tinh thể, nơi các nghiệm dao động mạnh có thể xuất hiện ngay cả khi hiệu của hai ma trận khác nhau trong K có hạng lớn hơn 2.
Điểm mới của nghiên cứu này là việc đề xuất một cách tiếp cận khác với khái niệm "bao lồi P" (P-convex hull) của Gromov. Thay vào đó, đề tài tập trung vào một "bao lồi" khác được định nghĩa dựa trên các hàm lồi hạng nhất (rank-one convex functions). Bao lồi mới này có khả năng bao gồm nhiều trường hợp hơn và cho phép giải quyết các vấn đề về tính chính quy (regularity) của các nghiệm.
Một ứng dụng quan trọng của lý thuyết này là việc xây dựng ví dụ phản chứng cho tính chính quy của nghiệm yếu của các hệ phương trình elliptic. Cụ thể, đề tài đưa ra một ví dụ về tích phân biến phân có các nghiệm Lipschitz nhưng không khả vi liên tục trên bất kỳ tập con mở nào của Ω, ngay cả khi hàm dưới dấu tích phân là hàm lồi mạnh và có đạo hàm cấp hai bị chặn.
Thông tin chi tiết
- Tên đề tài: Tích hợp lồi cho ánh xạ Lipschitz và ví dụ phản chứng về tính chính quy
- Ngành: Toán học (Cơ học, Giải tích)