Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học
PHẦN I: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG.
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO
I. Sơ lược về phương pháp kéo theo:
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là các ví dụ:
- Vd 1: Cho tam giác ABC, M thuộc AC. Chứng minh rằng: $S_{ABC} \le \frac{1}{2} AB.AC; S_{ABC} \le BM.AC$
Giải:
Gọi BH là đường cao của tam giác ABC $\Rightarrow$ BH $\le$ AB
$S_{ABC} = \frac{1}{2} BH.AC \le \frac{1}{2} AB.AC$
$M \in BC \Rightarrow BH \le BM \Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2} BH.AC \le \frac{1}{2} BM.AC$
Bất đẳng thức được chứng minh xong.
- Vd 2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh: $AM \le \frac{BC}{2}$ thì $\angle BAC \ge 90^\circ$ và ngược lại.
Giải:
- a) Giả sử $\angle BAC < 90^\circ$.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung điểm hai đoạn thẳng BC và AD.
AB = DC, BC là cạnh chung, $\angle BAC < \angle ACD$.
Do đó: $BC < AD \Rightarrow AM > \frac{BC}{2}$ (Vô lí).
$\Rightarrow \angle BAC \ge 90^\circ$
- Vd 3: Cho tứ giác lồi ABCD sao cho AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, và E,F,C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD. Đặt $\angle AED = \alpha, \angle AFB = \beta$, và $S_{ABCD} = S$. Chứng minh rằng: $AB.CD. \sin \alpha + AD.BC. \sin \beta \le 2S \le AB.CD + AD.BC$.
Giải:
Dễ thấy:
- $\{\angle ABF > \alpha \atop \angle ACF > \beta \}$
* Trong $\triangle ABD$ ta lấy điểm K sao cho $\frac{BK}{DE} = \frac{DK}{BF}$
Từ đó ta có $\frac{1}{2} S_{ACK} + \frac{1}{2} S_{ADK} \le \frac{1}{2} AB.BK \sin \alpha + \frac{1}{2} AD.DK \sin \beta \le S_{ABCD}$ (1)
Dễ thấy DKBC là hình bình hành.
- $\{\text{BK = CD} \atop \text{BC = DK}} \}$ (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
$AB.CD.\sin \alpha + AD.BC.\sin \beta \le 2S_{ABCD}$ (1)