Tiểu luận: Giản đồ BODE
Phần 1: Lời mở đầu – Giới thiệu đề tài
Lý thuyết mạch là một lĩnh vực khoa học nền tảng, đóng vai trò quan trọng trong việc đào tạo kỹ sư các ngành Kỹ thuật Điện, Điện tử - Viễn thông, Tự động điều khiển. Nó cung cấp cho sinh viên các phương pháp phân tích, tổng hợp mạch, làm cơ sở cho việc thiết kế các hệ thống Điện - Điện tử. Lý thuyết mạch vừa mang tính lý thuyết, vừa có tính ứng dụng, được nghiên cứu theo hai hướng chính: Phân tích mạch (tính toán các đại lượng điện khi biết cấu trúc và thông số mạch, nguồn kích thích) và Tổng hợp mạch (xây dựng hệ thống theo yêu cầu về tác động và đáp ứng). Cả hai hướng này đều dựa trên cơ sở toán học (toán giải tích, lý thuyết hàm hữu tỉ, phương trình vi phân) và vật lý (các định luật về điện từ trường).
Môn học Mạch điện II bao gồm bốn chương, đề cập đến phân tích mạch trong miền thời gian, miền tần số, đường dây dài và mạch không tuyến tính. Chương 7 tập trung vào các phương pháp phân tích mạch trong miền tần số như chuỗi Fourier, biến đổi tích phân chuỗi Fourier và hệ thống TTD. Tiểu luận này sẽ đi sâu vào cách vẽ giản đồ Bode, bao gồm biểu diễn đồ thị đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha.
Phần 2: Cơ sở lý thuyết
Mục tiêu cần đạt:
- Hiểu rõ hơn về hàm truyền đạt.
- Biết xác định và vẽ đồ thị đặc tuyến biên độ.
- Biết xác định và vẽ đồ thị đặc tuyến pha.
- Hiểu được ý nghĩa của giản đồ Bode.
- Biết sử dụng phần mềm Matlab để vẽ giản đồ Bode.
1. Biểu diễn đồ thị của hàm truyền đạt
a. Hàm truyền đạt (nhắc lại):
Hàm truyền đạt là một hàm phức biến thực $\omega$, đặc trưng cho hệ thống TTD. Đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha của hàm truyền đạt là hàm thực biến $\omega$. Việc biểu diễn đồ thị các đặc tuyến này giúp phân tích hệ thống và nhận biết đáp ứng của ngõ ra, ngõ vào.
Ví dụ 1: Xác định và vẽ hàm truyền đạt của mạch điện.
Giải:
Hàm truyền đạt điện áp: $K_1(\omega) = \frac{U_2(\omega)}{U_1(\omega)}$
Với mạch đã cho: $K_1(\omega) = \frac{\alpha}{a+j\omega}$, trong đó $a = \frac{1}{RC}$ là nghịch đảo của hằng số thời gian của mạch.
- Đặc tuyến biên độ: $|K(\omega)| = \frac{\alpha}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}$
- Đặc tuyến pha: $\phi(\omega) = -\arctan(\frac{\omega}{\alpha})$
b. Đặc tuyến logarit thập phân (biên độ lôgarit):
Trong thực tế, người ta thường quan tâm đến đặc tuyến biên độ $|K(j\omega)|$ vì nó dễ đo lường và cung cấp nhiều thông tin về tính chất của mạch trong miền tần số.
$A(\omega) = 20\lg[K(j\omega)] = 20\lg|K| + \sum_{i=1}^{m} 20\lg|j\omega - s_{oi}| - \sum_{i=1}^{n} 20\lg|j\omega - s_{ci}|$
Đơn vị của đặc tuyến biên độ logarit $A(\omega)$ là Decibel (dB).
2. Giản đồ Bode
Giản đồ Bode bao gồm hai đồ thị: đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha logarit, biểu diễn hàm truyền đạt áp của mạch.
Giả sử, ta có:
- Biên độ: $|G(j\omega)|_{dB} = 20 \lg_{10} |G(j\omega)|$
- Pha: $\phi = \angle G(j\omega)$ (hay arg G(j\omega))
Giản đồ Bode của các khâu cơ bản:
- Khâu khuếch đại: Hàm truyền đạt $G(s) = K$. Giản đồ Bode $L(\omega) = 20 \lg M(\omega) = 20 \lg K$ là đường thẳng song song với trục hoành.
- Khâu quán tính bậc 1: Hàm truyền đạt $G(s) = \frac{K}{Ts+1}$. Biểu đồ Bode có độ dốc giảm -20dB/decade.
- Khâu vi phân bậc 1: Hàm truyền đạt $G(s) = K(Ts + 1)$. Giản đồ Bode có độ dốc tăng 20dB/decade.
Ví dụ 3: Vẽ giản đồ Bode của hàm $K(j\omega) = \frac{K}{1+Tj\omega}$.
Giải:
Ta có: $20\lg|K(j\omega)| = 20\lg|\frac{K}{1+Tj\omega}| = 20\lg K - 20\lg|Tj\omega+1|$.
Khi $\omega \to 0 \Rightarrow T\omega \ll 1 \Rightarrow |Tj\omega+1| \approx 1$. Vậy $20\lg|K(j\omega)| \approx 20\lg K$. Hàm truyền đạt $K(j\omega) = K \Rightarrow \phi = 0$.
Khi $\omega \to \infty \Rightarrow T\omega \gg 1 \Rightarrow |Tj\omega+1| \approx T\omega$. Vậy $20\lg|K(j\omega)| \approx 20\lg K - 20\lg(T\omega)$ (-20dB/dec). Hàm truyền đạt $K(j\omega) = \frac{K}{Tj\omega} \Rightarrow \phi = -\frac{\pi}{2}$.
Ví dụ 4: Vẽ giản đồ Bode của hàm $K(j\omega) = \frac{K(T_2j\omega+1)}{T_1j\omega+1}$, với $T_1 > T_2$.